Прочитайте оригинал в Kodumaro , подписаться на Patreon Анкет
Трансцендентные числа вероятно, являются наиболее полезными инструментами в математике. Это иррациональные числа, которые не могут быть выражены с использованием конечной формулы.
Например, Личность Эйлера считается самой красивой математической формулой (возможно, я собираюсь исследовать ее в будущем):
Он раскрывает связь между двумя наиболее важными трансцендентными числами, комплексными числами, единицей и нулевым/ноль. Он используется в основном в вращении над реальными 𝑣𝑠 воображаемыми осями, на сложных экспоненциальных, корнях и других полезных операциях.
Тем не менее, это бесполезно, если не знает, как получить 𝑒 и π в необходимой точности.
Константа Эйлера
Константа Эйлера или число Эйлера, для краткости, является соотношение, описывающее любой постоянный рост. Это определено как:
Это около 2,71828…. 𝑒 Это своего рода волшебное число, появляющее во многих математических проблемах, предлагая хорошие и простые решения, поскольку комплексные численные операции для логарифма, экспоненциального и других видов роста.
Но как добраться до желаемой точности?
Можно принять эту формулу и вычислить большие и большие значения, пока она не достигнет необходимой точности. Тем не менее, показатель может быть довольно пугающим, что приводит к нежелательной слабой производительности – аналогичной или худшей, чем π -вычисления ниже. Тем не менее, трудно сказать, как долго это должно получить желаемую точность.
К счастью, другой Эйлер Формула дает нам лучшее решение:
Эта формула очень удобна, потому что она повышает точность каждого шага вскоре предсказуемо:
| 1/0! | = | 1/1 | = | 1 |
| 1 + 1/1! | = | 1 + 1/1 | = | 2 |
| 2 + 1/2! | = | 2 + 1/2 | = | 2.5 |
| 2.5 + 1/3! | = | 2.5 + 1/6 | ≈ | 2.6667 |
| 2.6667 + 1/4! | ≈ | 2.6666 + 1/24 | ≈ | 2.7083 |
| 2.7083 + 1/5! | ≈ | 2.7083 + 1/120 | ≈ | 2.7167 |
| 2.7167 + 1/6! | ≈ | 2.7177 + 1/720 | ≈ | 2.7180 |
| ⋱ | ⋱ | |||
| предыдущий + 1/∞! | = | 𝑒 |
Это легко предсказуемо, потому что точность равна log₁₀ (n!) :
| log₁₀ (0!) | = | log₁₀ (1) | = | 0 | |
| log₁₀ (1!) | = | log₁₀ (1) | = | 0 | |
| log₁₀ (2!) | = | log₁₀ (2) | ≈ | 0.3010 | |
| log₁₀ (3!) | = | log₁₀ (6) | ≈ | 0.7782 | |
| log₁₀ (4!) | = | log₁₀ (24) | ≈ | 1.3802 | |
| log₁₀ (5!) | = | log₁₀ (120) | ≈ | 2.0792 | |
| ⋱ | ⋱ | ⋱ | |||
| log₁₀ (1000!) | ≈ | 2’567.6046 |
Это становится большим очень быстро.
Больше повседневного случая
Изображение нужно рассчитать 𝑒 до 80-битной точности. Это не отличается от раньше. Биты представляют собой бинарные цифры, то есть числа 2 базы. Итак, вместо log₁₀ , нужно использовать log₂ :
- log₂ (n!) ≈ 80
- 2 log₂ (n!) ≈ 2 80
- n! ≈ 2⁸⁰
- 25! <2⁸⁰ <26!
- 25!
- 25
- 25
Итак, 26 шагов достаточно хороши.
Давайте реализуем это с помощью Python :
from numbers import Integral, Rational
from typing import Callable
# Lazy factorial implementation
fact: Callable[[Integral], Integral] = lambda n: prod(range(1, n+1))
# An LRU cached version, if you prefer:
#
# from functools import lru_cache
#
# fact: Callable[[Integral], Integral] = lambda n: lru_cache(
# 1 if n <= 0 else (n * fact(n - 1))
# )
def steps(prec: Integral) -> Integral:
res = 1
while fact(res) >> prec == 0:
res += 1
return res
Правый сдвиг ( >> ) возвращает ноль до тех пор, пока значение меньше, чем точность.
Теперь давайте вычислим 𝑒 сам:
compute_e: Callable[[Integral], Rational] = lambda prec: sum(
1./fact(x) for x in range(prec)
)
Решения, выходящие из этого:
>>> calculate_e(steps(64)) # Python uses 64-bit floats 2.7182818284590455 >>> math.e 2.718281828459045
Совсем неплохо. На самом деле, мы достигаем 64-битной точности с 18 итерациями.
Спектакль
Мы не беспокоимся о производительности здесь, это не сфера действия этого поста. Мы просто показываем, как это работает и как вы можете реализовать и использовать его.
А как насчет π?
π – это отношение периметра любого круга (окружности) к его диаметру. Это очень определение.
Тем не менее, это трансцендентное число и требует вычисленной серии бесконечности. Лейбниц дал нам аккуратное решение:
Процесс совсем тот же, который используется для 𝑒, возьмите формулу:
Затем получите точность:
compute_pi: Callable[[Integral], Rational] = lambda prec: 4. * sum(
(1./(4*n+1) - 1./(4*n+3)) for n in range(prec)
)
Совет: точность log₂ (4n) , так n PREC-2 , который можно получить с помощью левого переключения. Обратите внимание, что мы получили точно обратный предыдущий расчет: здесь необходимое количество шагов растет очень быстро с небольшим усилением.
Так Вы можете разочароваться при беге:
>>> compute_pi(1 << (64 - 2))
Это вычисление гораздо более неэффективно, чем предыдущий-Python не настолько хорош в работе с операцией с плавающей точкой, и необходимо огромное количество шагов для достижения цели. Я рекомендую 5 метров шагов:
>>> compute_pi(5000000) 3.141592553588895 >>> math.pi 3.141592653589793
Для этой задачи нужно будет понадобиться более жесткий инструмент, как C и многопоточный. Снова производительность не является масштабами этого поста. Вероятно, это требует использования некоторых заклинаний C, чтобы оптимизировать вычисление.
Или вы можете пройти через Wolfram Mathworld’s или Wolfram Alpha’s π -ссылки на страницу в поисках лучшего формула. Я сделал это, и я могу гарантировать, что они есть, включая представления серии.
Резюме
>> это хорошо, << плохо (очень общим и мелким образом).
Оригинал: “https://dev.to/cacilhas/how-to-compute-arbitrary-precision-transcendental-numbers-59lc”